赌徒破产：一场到 0 或 T 为止的游走
Gambler's Ruin赌徒拿着 n 美元做 $1 一注的赌博，每注胜率 p，直到破产（0）或达标（T）。Albert 与 Eric 的筹码版：两人共 T 个筹码，掷硬币互赢一枚，一方清空即终局。
公平赌桌（p=1/2）：Pr[赢] = n/T——只看本钱占目标的比例，$100 冲 $200 恰好 1/2，$100 冲 $600 只有 1/6，百万富翁赢 $100 几乎必然（1M/1.001M）。有偏赌桌（r := q/p > 1）：Pr[赢] = (rⁿ−1)/(r^T−1)。
Pascal 的巧证（21.1.1）：给第 i 枚筹码赋"价值" rⁱ（r=q/p），每注期望价值恰好为 0——游戏在价值尺度上变公平了；终局时 Pr[Albert 赢]·(Eric 全部筹码的价值) = (1−Pr[Albert 赢])·(Albert 全部筹码的价值)，解出 wₙ = A/(A+E)。也可以老实解线性递归 wₙ = p·wₙ₊₁ + q·wₙ₋₁（边界 w₀=0, w_T=1），第 16 章的生成函数 + 部分分式机器照样吐出同一条公式。
轮盘悖论：本钱再多也只是陪跑
原书 21.1 导语所谓 "How Casinos Stay in Business"美式轮盘 38 格中 18 格红——押红的胜率 p = 18/38，只是"稍微"不利。用推论 21.1.2：Pr[赢] < (1/r)^(T−n) = (9/10)^100 < 1/37,648。关键在于这个界与初始本钱无关：$500 也好、$50 亿也好，想靠 $1 注赢 $100，成功率都不到万分之三。想赢 $200？概率平方——不到 14 亿分之一。直觉（图 21.2）：drift dominates swings——每注期望 −5.3 分的下沉漂移迟早吃掉任何好运的上摆，而且越晚需要的好运越大。
这场仗要打多久？
How Long a Walk?公平赌桌：Ex[注数] = n(T−n) = 本钱 × 目标利润。$10 起手冲 +$10 → 100 注；$500 冲 $600 → 50,000 注——"小赌怡情"的时间代价是乘法级的。有偏时 Ex = (n − T·wₙ)/(q−p)。
而这条"乘法级"的时间代价本身也有分布性格：局长围绕 n(T−n) 剧烈波动，均值收敛但中位数小得多——先跑一千局看看分布长什么样，再去 21.1.5 见识期望彻底失效的现场。
无界游戏：必输光，却平均玩到永远
The Unbounded Fair Game把目标 T 撤掉——无界公平游戏，一直玩到破产为止。两个看似打架的事实同时成立：
① 赌徒以概率 1 必然破产——哪怕本金一百万；② 但期望游戏时长是 ∞。递归上看：破产概率没有"逃逸解"，只能取 1；而期望时长 t 满足 t = q + p(1 + 2t)，只得 t = ∞。
直觉藏在分布的重尾里：n=1 时 1/2 的局第一注就死，11/16 的局撑不过第五注（精确枚举 1/2 + 1/8 + 2·(1/32) = 11/16；原书 21.1 印"超过 15/16"，系原书笔误）——绝大多数局死得飞快，但极少数"马拉松局"长到把均值顶成无穷。期望会骗人，分布不会。亲手看这条尾巴：
网页上的随机游走：PageRank 的出身
Random Walks on Graphs把万维网看成有向图：页面是顶点、超链接是边。1995 年 Stanford 的两位学生 Larry Page 和 Sergey Brin 想到：与其数关键词出现次数（谁都能刷），不如让一个"随机网民"在图上游走——每到一个页面等概率跟随一条出链：
死胡同页面（没有出链）会把游走者困住——解法是加一个超顶点：每页以小概率（原版 0.15）传送到超顶点、再等概率回到任意页。稳态分布（定义 21.2.1）：Pr[at x] = Pr[go to x next step] 的概率分配；强连通图上它存在、唯一，长游走必然收敛到它。这个稳态分布就是 PageRank——Rank(x) = Σ_{y→x} Rank(y)/outdeg(y)。书里的彩蛋：用这套公式，6.042 讲义在 378,000 条结果里排第一。
习题实战
Theorems 21.1.1 & 21.1.3, Playable赌徒破产两定理做成核查解题器：输入参数，两问一起判。
终局自测
Final Check六题，覆盖全章。
彩蛋与课后挑战
Easter Eggs & ProblemsPascal 的加权筹码（21.1.1）
十七世纪概率论黎明期，Pascal 给 Albert 的第 i 枚筹码赋值 rⁱ（Eric 的从 r^{n+1} 往上排）。每注的期望价值 = r^{n+1}p − rⁿq = 0——游戏在"价值"尺度上严格公平，Albert 手中筹码总价值的期望在游戏中守恒。终局时比较两边总价值即得 wₙ。一个赋值技巧替代整套递归求解——教科书级的"换个度量衡"案例。
Google 的电费与 googol（21.2.3）
对万亿级网页图求稳态分布是个大活儿：书里脚注，2011 年 Google 投资 1.68 亿美元建太阳能电站——2011 年其服务器耗电量够 20 万个家庭用。公司名 Google 正是 googol（10¹⁰⁰）的谐音，致敬网页图的巨大。而"随机网民 + 稳态分布"这两个概念，至今还是无数排序算法的骨架。
课后挑战（均出自原书习题）
- 21.2 T=∞ 的赌徒：r = q + pr² 的自指方程；p ≤ 1/2 时 r=1——"本钱迟早缩水到 n−1"概率为 1；公平游戏期望下注时长 t = q + p(1+2t) 解出 t=∞。
- 21.3 轮盘"前打十二"：胜率 12/38 的破产递归 + 期望局数递归（只需列式）。
- 21.4 用生成函数 E(x) 重解公平局长 eₙ = n(T−n)——第 16 章机器的又一次服役。
- 21.5–21.9 稳态分布练习：哪些小图有唯一稳态？从哪些起点出发游走不收敛（提示：非强连通）？