马尔可夫定理：只用均值能说什么
Markov's TheoremR 非负时：Pr[R ≥ x] ≤ Ex[R]/x。推论 20.1.2：Pr[R ≥ c·Ex[R]] ≤ 1/c。IQ 均值 100 → 至多 1/3 的人 IQ≥300。粗糙？当然——但 19 章的帽子问题（Ex[G]=1，Pr[G≥x]≤1/x）和中餐开胃菜问题（Pr[全对]≤1/n）都靠它一击命中。
让它变锋利的技巧：平移。已知 IQ 下界 100，令 T = R − 100（非负，均值 50），则 Pr[R>200] = Pr[T>100] ≤ 50/100 = 1/2——从 3/4 磨到 1/2。同类技巧套上平方就升级成切比雪夫。
切比雪夫：方差登场
Chebyshev's TheoremVar[R] := Ex[(R − Ex[R])²]（均方偏差）；Pr[|R − Ex[R]| ≥ x] ≤ Var[R]/x²。用 σ = √Var（标准差，与 R 同单位）重写：Pr[|R−μ| ≥ cσ] ≤ 1/c²（推论 20.2.6）。
书中名场面：Game A（2/3 概率赢 $2、1/3 输 $1）与 Game B（2/3 赢 $1002、1/3 输 $2001）期望都是 $1——但 Var[A]=2，Var[B]=2,004,002。十局 A 最坏也就小输；十局 B 理论上能亏两万多。期望说"平均赚多少"，方差说"离均值有多疯"。
方差的性质
Properties of VarianceVar[R] = Ex[R²] − Ex²[R]（引理 20.3.1）· Bernoulli：Var = p(1−p) · 几何分布（每步失效概率 p）：Var = (1−p)/p² · Var[aR+b] = a²Var[R]（平移不动、缩放平方）· 独立可加：Var[R+S] = Var[R]+Var[S]——只需 pairwise 独立（定理 20.3.8）；R=S 反例：Var[2R] = 4Var[R] ≠ 2Var[R]。二项分布 Var = np(1−p)。
生日配对：期望 12.23 对，方差呢？
Matching Birthdays95 人的班里配对生日数 M：配对事件 pairwise 独立（Alice-Bob 的信息不影响 Alice-Carol——虽然三向上就不独立了！），于是方差可加：
切比雪夫：Pr[|M − 12.23| ≥ 7] ≤ 12.2/49 < 25%——所以 75% 以上的概率，班里同生日对数落在 6 到 19 之间。模拟对拍：
随机采样：该问多少人？
Estimation by Random Sampling估计支持率 p：抽 n 人（有放回），样本占比 Sₙ/n。想要 ±0.04、95% 置信。Var[Sₙ/n] ≤ 1/(4n)（p(1−p) 在 p=1/2 最大），切比雪夫一压：
推论 20.4.2（弱大数定律）：pairwise 独立、同均值有限方差 → 样本均值依概率收敛到 μ。选民总数从头到尾没出现过——3000 人永远够，不管总人口一万还是十亿。
置信的语言：别把 p 说成随机
Confidence in an Estimation"1250/3125 的样本支持 Brown，所以『p > 1/3 的概率是 95%』"——错。p 是一个固定的真值，未知 ≠ 随机。正确的说法："我们的估计程序有 95% 的概率产出 ±0.04 内的结果"；民调员的话术："在 95% 置信水平下，支持率为 1250/3125 ± 0.04"——置信水平是对程序的评价，不是对 p 的赋概率。要么区间对了，要么发生了 1/20 的小概率事件。
Chernoff 界：把尾部打成指数级
The Chernoff Bound均值和方差都知道了，切比雪夫就是天花板。但如果随机变量是一堆独立小变量之和（每个取值 ∈[0,1]），还有一把锤子——Chernoff 界（定理 20.6.1）：
指数 vs 多项式：Markov 给 1/c、切比雪夫给 1/c²、Chernoff 给 e^(−Θ(Ex[T]))。1000 次掷币正面超均值 20%（c=1.2，β=0.0187）：概率 < 1/10,000；超 30%（β=0.041）：1/10 亿；一百万枚硬币：e^(−9392)，"不可想象的小"。应用：Pick-4 彩票 1000 万玩家翻车概率 e^(−386)；Fussbook（虚构社交站）负载均衡——24000 帖、每帖平均 ¼ 秒、600 秒窗口：
20.6.8Murphy 定律：能出错的，多半真会出错
反向使用：一堆独立事件，若期望发生件数 Ex[T] 很大，则 Pr[T = 0] ≤ e^(−Ex[T])。期望 10 件事发生 → 至少一件的概率 ≥ 1 − e⁻¹⁰ > 99.995%。10 万张 Pick-4 彩票"无人中奖"概率 < 1/22000——"巧合"、"奇迹"之所以出现，是因为可能的怪事实在太多，总概率加起来早就爆表了。
20.7Really Great Expectations：期望 ∞ 的"必胜"赌局
掷公平硬币直到出现正面，记下你连续反面的长度 k；然后不断重掷，直到掷出比 k 更长的反面连击才停——你必然会赢（概率 1），我每轮失败收你 1 分钱，赢了随便我付。听着像送钱？重试次数的期望 = 2^(k+1)（均故障时间），无条件期望 = Σ 1 = ∞。任何随机变量"等到出现更大值"的期望等待时间都是无限的——有限的奖金永远配不平无限的等待。
习题实战
Problem 20.13, Playable原书习题 20.13（页面挑战列表同款）：n 把钥匙只有 1 把能开门，试错即弃。T = 开门所需次数。
终局自测
Final Check六题，覆盖全章。
彩蛋与课后挑战
Easter Eggs & ProblemsScott Brown 与 3125 人的由来（20.4 开场）
2010 年麻省参议员补选，民主党早期民调全没看出共和党人 Scott Brown 会赢 Teddy Kennedy 坐了 40 多年的席位——抽样误差不是抽象概念，是会翻盘的。切比雪夫版的 3,125 偏保守——真实二项（正态近似）约 600，原书 20.6.2 的尾界法能把 n 再压小约 4 倍；第 21 章的 Chernoff 界正是干这个的。书中脚注：这个例子 xkcd #882 有一幅著名的吐槽（显著性检验的次数问题）。
中餐开胃菜：Markov 的高光时刻（20.1.1）
n 人围坐转盘分冷盘，每人拿到自己原来那份的概率精确 = 1/n；马尔可夫只用了 Ex[R]=1 就给出 Pr[R≥n] ≤ 1/n——粗糙的界偶尔精确命中。而帽子问题真值 1/n! 时 Markov 仍只给 1/n：同一工具，时灵时不灵。
课后挑战（均出自原书习题）
- 20.3 R 非负且有下界 b：对 R−b 套 Markov 能再压低 Pr[R ≥ x]——证明 b>0 时界必更小，并找出最优的 b；对偶的"有上界 u 时用 u−S 界 S 远低于均值"见正文 20.1.2 末尾评注。
- 19.19（前章回马枪） MIT 洗衣三连：busy（3 套题各 1 或 2 天）、relaxed（掷骰到 1 才洗）、unlucky（两骰积天数）——三种懒法各期望多少天？混合型呢（Ex[D]）？
- 20.18 证明方差的 pairwise 独立可加性（定理 20.3.8）；平方倍规则 Var[aR] = a²Var[R] 顺手一并推。
- 20.13 n 把钥匙只有一把开门，试错即弃：已知 Ex[T] = (n+1)/2（19.25），写出 Var[T] 的闭式。